Étude de la continuité en un point

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Étude de la continuité en un point. Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = {2 x + 1 x^{2} + 2 si x \leq 1 si x > 1$

La fonction $f$ est-elle continue en 1 ?

La fonction $f$ est continue en 1 si et seulement si $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1)$ .

Calculons $f (1)$ : par définition pour $x \leq 1$ , $f (1) = 2 (1) + 1 = 3$ .
Limite à gauche en 1 : $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (2 x + 1) = 3$ .
Limite à droite en 1 : $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 2) = 1^{2} + 2 = 3$ .

Puisque $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1) = 3$ , la fonction $f$ est continue en 1.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.