Étude de la continuité en un point

La fonction $f$ est continue en 1 si et seulement si ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$.

• Calculons $f(1)$ : par définition pour $x\le 1$, $f(1)=2(1)+1=3$.
• Limite à gauche en 1 : ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+1)=3$.
• Limite à droite en 1 : ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x^2+2)=1^2+2=3$.

Puisque ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=3$, la fonction $f$ est continue en 1.