Le randonneur et l'heure de cinq kilomètres

Le randonneur et l'heure de cinq kilomètres. Un randonneur parcourt $10$ km en $2$ heures, à une allure qui peut varier. On note $d(t)$ la distance (en km) parcourue au bout de $t$ heures, pour $t\in [0,2]$ ; on admet que $d$ est continue, avec $d(0)=0$ et $d(2)=10$.

• On pose, pour $t\in [0,1]$, $g(t)=d(t+1)-d(t)-5$. Justifier que $g$ est continue sur $[0,1]$.
• Calculer $g(0)+g(1)$.
• En déduire qu'il existe un intervalle de temps d'exactement une heure pendant lequel le randonneur parcourt exactement $5$ km.