Levée d'indétermination par quantité conjuguée

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Levée d'indétermination par quantité conjuguée. Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $[0, + \infty [$ par :

$f (x) = x^{2} + x - x$

Corrigé

C'est une forme indéterminée du type « $\infty - \infty$ ». Utilisons l'expression conjuguée :

$f (x) = \frac{( x ^{2} + x - x ) ( x ^{2} + x + x )}{x ^{2} + x + x} = \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = \frac{x}{x ^{2} ( 1 + \frac{1}{x} ) + x}$

Pour $x > 0$ , $x^{2} = x$ , donc :

$f (x) = \frac{x}{x 1 + \frac{1}{x} + x} = \frac{x}{x ( 1 + \frac{1}{x} + 1 )} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1}$

Comme $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ , on a par limite de somme et de quotient :

$x \to + \infty lim f (x) = \frac{1}{1 + 0 + 1} = \frac{1}{2}$

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