Levée d'indétermination par quantité conjuguée

C'est une forme indéterminée du type « $\infty -\infty$ ». Utilisons l'expression conjuguée :

$$f(x)=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}+x}$$

Pour $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$, donc :

$$f(x)=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$$

Comme ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$, on a par limite de somme et de quotient :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$$