Levée d'indétermination par simplification

En évaluant directement en $x=2$, on obtient une forme indéterminée du type « $\frac{0}{0}$ ». Factorisons le numérateur et le dénominateur :

• Le numérateur est une différence de carrés : $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
• Le dénominateur $x^2-3x+2$ admet pour racine évidente 2 (car $2^2-3(2)+2=0$). L'autre racine est 1. On peut donc factoriser par $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{1;2\}$, simplifions l'expression :

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x+2}{x-1}$$

Ainsi :

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x-1}=\frac{2+2}{2-1}=4$$