Levée d'indétermination par simplification

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Levée d'indétermination par simplification. Déterminer la limite en 2 de la fonction $f$ définie sur $R ∖ {1; 2}$ par :

$f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$

En évaluant directement en $x = 2$ , on obtient une forme indéterminée du type « $\frac{0}{0}$ ». Factorisons le numérateur et le dénominateur :

Le numérateur est une différence de carrés : $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
Le dénominateur $x^{2} - 3 x + 2$ admet pour racine évidente 2 (car $2^{2} - 3 (2) + 2 = 0$ ). L'autre racine est 1. On peut donc factoriser par $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1)$ .

Pour tout $x \in R ∖ {1; 2}$ , simplifions l'expression :

$f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x - 1 )} = \frac{x + 2}{x - 1}$

Ainsi :

$x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{2 + 2}{2 - 1} = 4$

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.