Limite d'une suite récurrente par point fixe

Limite d'une suite récurrente par point fixe. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x^2+2}{3}$, et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• Étudier les variations de $f$ sur $[0,1]$ et calculer $f(0)$ et $f(1)$.
• Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le u_{n+1}\le 1$.
• En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.