mathématiques (terminale) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Limite de fonctions trigonométriques par encadrement

Limites et Continuité des fonctions · niveau 2

Énoncé

Limite de fonctions trigonométriques par encadrement. Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{cos ( x )}{x}$

Corrigé

Pour tout réel $x > 0$ , on sait que $- 1 \leq cos (x) \leq 1$ . En divisant par $x$ (qui est strictement positif), on obtient :

$- \frac{1}{x} \leq \frac{cos ( x )}{x} \leq \frac{1}{x}$

Or, $lim_{x \to + \infty} - \frac{1}{x} = 0$ et $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ . D'après le théorème des Gendarmes, on en déduit :

$x \to + \infty lim f (x) = 0$

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