Limite oscillante amortie

Limites et Continuité des fonctions · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Limite oscillante amortie. Déterminer la limite en $0^{+}$ de la fonction $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = x sin (\frac{1}{x})$

Corrigé

Pour tout $x > 0$ , $- 1 \leq sin (\frac{1}{x}) \leq 1$ . En multipliant par $x$ (qui est strictement positif) :

$- x \leq x sin (\frac{1}{x}) \leq x$

Or, $lim_{x \to 0^{+}} - x = 0$ et $lim_{x \to 0^{+}} x = 0$ . D'après le théorème des Gendarmes, la limite en $0^{+}$ de $f (x)$ est :

$x \to 0^{+} lim x sin (\frac{1}{x}) = 0$

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