Recherche d'asymptotes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Recherche d'asymptotes. Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $] 1, + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

Limite en $1^{+}$ : Le numérateur tend vers $2 (1) + 3 = 5$ . Le dénominateur tend vers $0^{+}$ . Par quotient :

$x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$

La droite d'équation $x = 1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

Limite en $+ \infty$ : Factorisons par $x$ au numérateur et au dénominateur :

$f (x) = \frac{x ( 2 + \frac{3}{x} )}{x ( 1 - \frac{1}{x} )} = \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Puisque $lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ , on a par quotient :

$x \to + \infty lim f (x) = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

La droite d'équation $y = 2$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ .

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.