Recherche d'asymptotes

• Limite en $1^{+}$ : Le numérateur tend vers $2(1)+3=5$. Le dénominateur tend vers $0^{+}$. Par quotient :

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$$

La droite d'équation $x=1$ est donc une asymptote verticale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

• Limite en $+\infty$ : Factorisons par $x$ au numérateur et au dénominateur :

$$f(x)=\frac{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}$$

Puisque ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$, on a par quotient :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{2+0}{1-0}=2$$

La droite d'équation $y=2$ est donc une asymptote horizontale à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ en $+\infty$.