Toute équation polynomiale de degré 3 a une solution

Toute équation polynomiale de degré 3 a une solution. Soit $a$, $b$, $c$ trois réels et $P$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$.

• Déterminer les limites de $P$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
• En déduire qu'il existe deux réels $A<B$ tels que $P(A)<0$ et $P(B)>0$.
• Démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet au moins une solution réelle.
• Le résultat subsiste-t-il pour l'équation $x^4+1=0$ ? Quelle hypothèse ne s'applique plus ?
• Application : montrer que l'équation $x^3+x+1=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$, et que $-0,7<\alpha <-0,6$.