Convexité d'une fonction avec logarithme

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0,+\infty [$ :

• dérivée première : $f^{\prime }(x)=1\cdot \ln (x)+x\cdot \frac{1}{x}=\ln (x)+1$ ;
• dérivée seconde : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}$.

Pour tout $x\in ]0,+\infty [$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}>0$. Puisque sa dérivée seconde est strictement positive sur son ensemble de définition, la fonction $f$ est strictement convexe sur $]0,+\infty [$.