Dérivée d'une racine de fonction

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (terminale), chapitre 3 — Dérivation et Convexité

Énoncé

Dérivée d'une racine de fonction. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = e^{x} + x^{2} + 1$

Corrigé

La fonction $f$ est de la forme $u$ avec $u (x) = e^{x} + x^{2} + 1$ . Puisque $e^{x} > 0$ , $x^{2} \geq 0$ et $1 > 0$ , on a $u (x) > 0$ pour tout $x \in R$ . La fonction $u$ est dérivable sur $R$ et $u^{'} (x) = e^{x} + 2 x$ . D'après la formule $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ , on a :

$f^{'} (x) = \frac{e ^{x} + 2 x}{2 e ^{x} + x ^{2} + 1}$

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