Détermination des intervalles de convexité

La fonction $f$ est polynomiale donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ :

• $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12$ ;
• $f^{\prime \prime }(x)=12x-18=6(2x-3)$.

Étudions le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ :

$$f^{\prime \prime }(x)\ge 0⟺2x-3\ge 0⟺x\ge \frac{3}{2}$$

Ainsi :

• $f$ est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ,\frac{3}{2}\right]$ car $f^{\prime \prime }(x)\le 0$.
• $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[\frac{3}{2},+\infty \right[$ car $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$.