Entre une tangente et une sécante

Entre une tangente et une sécante. Soit la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$.

• Justifier que $f$ est convexe sur $]0,+\infty [$.
• Déterminer l'équation de la sécante $(AB)$, où $A$ et $B$ sont les points de la courbe d'abscisses $1$ et $2$, et l'équation de la tangente au point $A$.
• En déduire que pour tout $x\in [1,2]$ :

$$2-x\le \frac{1}{x}\le \frac{3-x}{2}$$

• Retrouver ces deux inégalités par un calcul direct.