Le point de la courbe le plus proche

Dérivation et Convexité · Problèmes · niveau 3 (difficile)

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Le point de la courbe le plus proche. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ de la fonction racine carrée et le point $A (3, 0)$ . Pour $x \geq 0$ , on note $M$ le point de $C$ d'abscisse $x$ et $d (x) = A M$ .

Montrer que $d (x) = x^{2} - 5 x + 9$ .
Calculer $d^{'} (x)$ et étudier les variations de $d$ sur $[0, + \infty [$ .
En déduire la position du point $M_{0}$ de $C$ le plus proche de $A$ , et la distance minimale.
Démontrer que la droite $(A M_{0})$ est perpendiculaire à la tangente à $C$ en $M_{0}$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

Le point de la courbe le plus proche

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