Recherche de points d'inflexion

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 3 — Dérivation et Convexité

Énoncé

Recherche de points d'inflexion. Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Corrigé

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $R$ :

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x$ ;
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x^{2} - 1) = 12 (x - 1) (x + 1)$ .

La dérivée seconde $f^{''}$ s'annule pour $x = - 1$ et $x = 1$ . Le coefficient devant $x^{2}$ étant positif ( $12 > 0$ ), $f^{''} (x)$ change de signe en passant par ces racines (elle est positive à l'extérieur, négative à l'intérieur). La courbe $C_{f}$ admet donc deux points d'inflexion :

pour $x = - 1$ : $f (- 1) = (- 1)^{4} - 6 (- 1)^{2} = 1 - 6 = - 5$ , d'où $I_{1} (- 1, - 5)$ ;
pour $x = 1$ : $f (1) = 1^{4} - 6 (1)^{2} = - 5$ , d'où $I_{2} (1, - 5)$ .

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