Recherche de points d'inflexion

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ :

• $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$ ;
• $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$.

La dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ s'annule pour $x=-1$ et $x=1$. Le coefficient devant $x^2$ étant positif ($12>0$), $f^{\prime \prime }(x)$ change de signe en passant par ces racines (elle est positive à l'extérieur, négative à l'intérieur). La courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet donc deux points d'inflexion :

• pour $x=-1$ : $f(-1)=(-1{)}^4-6(-1{)}^2=1-6=-5$, d'où $I_1(-1,-5)$ ;
• pour $x=1$ : $f(1)=1^4-6(1{)}^2=-5$, d'où $I_2(1,-5)$.