Une cubique symétrique par rapport à son point d'inflexion

Une cubique symétrique par rapport à son point d'inflexion.

• Soit $f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$. Montrer que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ admet un unique point d'inflexion $I$, dont on donnera les coordonnées.
• Vérifier que pour tout réel $x$, $f(2-x)+f(x)=0$. Interpréter géométriquement.
• Déterminer l'équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ en $I$, puis étudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$.
• Cas général : soit $g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ avec $a\ne 0$. Montrer que la courbe de $g$ admet un unique point d'inflexion d'abscisse $x_0=-\frac{b}{3a}$, et que pour tout réel $x$ : $g(2x_0-x)+g(x)=2g(x_0)$.