Une inégalité par la tangente

Une inégalité par la tangente. Soit la fonction $f$ définie sur $[-1,+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{1+x}$.

• Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$ pour $x>-1$. En déduire que $f$ est concave sur $]-1,+\infty [$.
• Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
• En déduire que pour tout $x\ge -1$ : $\sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}$.
• Application : donner sans calculatrice un majorant de $\sqrt{1,02}$ et de $\sqrt{0,98}$.