Équation de type second degré en $\ln (x)$

Posons le changement de variable $X=\ln (x)$. L'équation devient :

$$X^2-3X+2=0$$

C'est une équation du second degré. Le discriminant est $\Delta =(-3{)}^2-4(1)(2)=1>0$. Les solutions pour $X$ sont :

$$X_1=\frac{3-1}{2}=1\text{et}{X}_2=\frac{3+1}{2}=2$$

Revenons à la variable $x$ :

• $\ln (x)=1⟺x=e^1=e$ ;
• $\ln (x)=2⟺x=e^2$.

Les deux solutions appartiennent bien au domaine $]0,+\infty [$. L'ensemble des solutions est :

$$S=\{e;e^2\}$$