La série harmonique croît comme le logarithme

La série harmonique croît comme le logarithme. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$.

• En étudiant la fonction $g(t)=\ln (t)-t+1$ sur $]0,+\infty [$, montrer que pour tout $t>0$, $\ln (t)\le t-1$.
• En déduire que pour tout réel $x>-1$ :

$$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$$

On pourra appliquer la question 1 à $t=1+x$, puis à $t=\frac{1}{1+x}$.

• Montrer que pour tout $n\ge 1$, ${\sum }_{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln (n+1)$. En déduire que $H_n\ge \ln (n+1)$, puis la limite de $(H_n)$.
• Montrer que pour tout entier $k\ge 2$, $\frac{1}{k}\le \ln (k)-\ln (k-1)$. En déduire que pour tout $n\ge 1$, $H_n\le 1+\ln (n)$.
• Déterminer ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{H_n}{\ln (n)}$.