mathématiques (terminale) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Limite par factorisation forcée

Fonction Logarithme Népérien · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Limite par factorisation forcée. Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = ln (x) - x$

Corrigé

C'est une forme indéterminée du type « $\infty - \infty$ ». Facteur commun $x$ :

$f (x) = x (\frac{ln ( x )}{x} - 1)$

D'après les croissances comparées, $lim_{x \to + \infty} \frac{l n ( x )}{x} = 0$ . Le terme dans la parenthèse tend donc vers $0 - 1 = - 1$ . Par produit de limites (« $+ \infty \times (- 1)$ ») :

$x \to + \infty lim f (x) = - \infty$

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