Qui est le plus grand : $e^{\pi }$ ou ${\pi }^e$ ?

Qui est le plus grand : $e^{\pi }$ ou ${\pi }^e$ ? Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$.

• Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty [$. Préciser $f(e)$ et le signe de $f(x)$ pour $x>1$.
• Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que $a^b<b^a⟺f(a)<f(b)$.
• En déduire, sans calculatrice, lequel des deux nombres $e^{\pi }$ et ${\pi }^e$ est le plus grand.
• Vérifier que $f(2)=f(4)$. Que peut-on en déduire pour $2^4$ et $4^2$ ?
• Selon les valeurs du réel $a$, déterminer le nombre de solutions dans $]0,+\infty [$ de l'équation $\ln (x)=ax$. On utilisera les limites ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$.