Chute avec frottement et méthode d'Euler

Chute avec frottement et méthode d'Euler. Les données de cet exercice sont fictives. Un objet lâché sans vitesse initiale tombe en subissant un frottement de l'air. Sa vitesse $v(t)$ (en m/s) au temps $t$ (en secondes) vérifie :

$$v^{\prime }=-0,2v+10,v(0)=0$$

• Déterminer la solution constante de l'équation, puis l'expression de $v(t)$.
• Étudier le sens de variation de $v$ sur $[0,+\infty [$ et calculer ${\lim }_{t\to +\infty }v(t)$. Interpréter.
• Au bout de combien de temps l'objet atteint-il $90\%$ de sa vitesse limite ?
• On applique la méthode d'Euler avec un pas $h=1$ : $v_0=0$ et $v_{k+1}=v_k+h(-0,2v_k+10)$. Calculer $v_1$ et $v_2$ et comparer $v_2$ à la valeur exacte $v(2)$. La méthode surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ? Expliquer à l'aide de la concavité de $v$.