Élimination d'un médicament

Élimination d'un médicament. Les données de cet exercice sont fictives. On injecte à un patient $50$ mg d'une substance. La masse $m(t)$ (en mg) présente dans le sang au temps $t$ (en heures) vérifie $m^{\prime }=-km$, où $k>0$ est une constante, avec $m(0)=50$. On constate qu'au bout de $4$ heures, il ne reste que $25$ mg.

• Exprimer $m(t)$ en fonction de $k$ et $t$, puis montrer que $k=\frac{\ln (2)}{4}$.
• Montrer que, pour tout $t\ge 0$, $m(t+4)=\frac{m(t)}{2}$. Interpréter.
• À partir de quel instant la masse devient-elle inférieure à $1$ mg ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à la minute près.