Encadrement d'une fonction

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Encadrement d'une fonction. Démontrer que la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1}$ vérifie l'encadrement strict $- 1 < f (x) < 1$ pour tout réel $x$ .

Corrigé

On cherche à prouver que pour tout réel $x$ : $- 1 < f (x) < 1$ .

Montrons que $f (x) < 1$ :

$f (x) - 1 = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1} - 1 = \frac{e ^{x} - 1 - ( e ^{x} + 1 )}{e ^{x} + 1} = \frac{- 2}{e ^{x} + 1}$

Comme $e^{x} > 0 ⟹ e^{x} + 1 > 1 > 0$ , le dénominateur est strictement positif. Le numérateur étant négatif, la différence est strictement négative, d'où $f (x) < 1$ .

Montrons que $f (x) > - 1$ :

$f (x) - (- 1) = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1} + 1 = \frac{e ^{x} - 1 + e ^{x} + 1}{e ^{x} + 1} = \frac{2 e ^{x}}{e ^{x} + 1}$

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, d'où la différence est strictement positive, ce qui implique $f (x) > - 1$ .

La fonction $f$ est donc bien bornée entre $- 1$ et $1$ .

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