Équation différentielle avec condition initiale générale

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 5 — Fonction Exponentielle et Équations Différentielles

Énoncé

Équation différentielle avec condition initiale générale. Résoudre sur $R$ l'équation différentielle $2 y^{'} - y = 4$ et déterminer l'unique solution $f$ telle que $f (0) = 2$ .

Corrigé

L'équation s'écrit $2 y^{'} = y + 4 ⟺ y^{'} = \frac{1}{2} y + 2$ . C'est une équation de la forme $y^{'} = a y + b$ avec $a = \frac{1}{2}$ et $b = 2$ . Les solutions générales sur $R$ sont de la forme :

$y (x) = C e^{\frac{1}{2} x} - \frac{2}{1/2} = C e^{\frac{1}{2} x} - 4 (o u ˋ C \in R)$

Déterminons la solution $f$ vérifiant $f (0) = 2$ :

$f (0) = 2 ⟺ C e^{0} - 4 = 2 ⟺ C = 6$

La solution unique cherchée est la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = 6 e^{\frac{1}{2} x} - 4$

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