Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant

• L'équation s'écrit $y^{\prime }=3y+6$. C'est une équation de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=3\ne 0$ et $b=6$. Les solutions générales sur $\mathbb{R}$ sont de la forme :

$$y(x)=C{e}^{3x}-\frac{6}{3}=C{e}^{3x}-2(\text{ouˋ }C\in \mathbb{R})$$

• Déterminons la solution $f$ vérifiant $f(0)=1$ :

$$f(0)=1⟺C{e}^{3(0)}-2=1⟺C-2=1⟺C=3$$

La solution unique cherchée est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=3e^{3x}-2$$