Équation du second degré en $e^x$

En remarquant que $e^{2x}=(e^x{)}^2$, posons le changement de variable $X=e^x$. L'équation devient :

$$X^2-4X+3=0$$

C'est une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta =(-4{)}^2-4(1)(3)=16-12=4>0$. Les solutions pour $X$ sont :

$$X_1=\frac{4-2}{2}=1\text{et}{X}_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Revenons à la variable $x$ sachant que $X=e^x$ :

• $e^x=1⟺x=\ln (1)=0$ ;
• $e^x=3⟺x=\ln (3)$.

L'ensemble des solutions de l'équation est :

$$S=\{0;\ln (3)\}$$