Le nombre e comme limite

Le nombre

e

comme limite

Fonction Exponentielle et Équations Différentielles · Problèmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le nombre $e$ comme limite. Pour tout entier $n \geq 1$ , on pose $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ et $w_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ . On rappelle que pour tout réel $t$ , $e^{t} \geq 1 + t$ .

En appliquant cette inégalité à $t = \frac{1}{n}$ , montrer que $u_{n} \leq e$ .
En l'appliquant à $t = - \frac{1}{n + 1}$ , montrer que $e^{\frac{1}{n + 1}} \leq \frac{n + 1}{n}$ , puis que $e \leq w_{n}$ .
Montrer que $0 \leq e - u_{n} \leq \frac{e}{n}$ . En déduire la limite de $(u_{n})$ .
Donner l'encadrement de $e$ obtenu pour $n = 10$ (à $1 0^{- 3}$ près). Quelle valeur de $n$ garantit, par la question 3, que $u_{n}$ approche $e$ à $1 0^{- 2}$ près ?

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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