Méthode des rectangles pour ${\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x$

Méthode des rectangles pour ${\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x$. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose :

$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\left(e^0+e^{\frac{1}{n}}+\cdots +e^{\frac{n-1}{n}}\right)$$

• Calculer $I={\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x$.
• Interpréter $S_n$ comme une somme d'aires de rectangles.
• Montrer que pour tout $k\in \{0,\dots ,n-1\}$ :

$$\frac{1}{n}{e}^{\frac{k}{n}}\le {\int }_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}{e}^x\mathrm{d}x\le \frac{1}{n}{e}^{\frac{k+1}{n}}$$

• En déduire que $S_n\le I\le S_n+\frac{e-1}{n}$, puis la limite de $(S_n)$.
• Quelle valeur de $n$ suffit pour que $S_n$ approche $I$ à $10^{-2}$ près ?
• Autre méthode. Reconnaître une somme géométrique et montrer que $S_n=\frac{e-1}{n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)}$. En utilisant ${\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$, retrouver la limite de $(S_n)$.