Primitive de la forme $u^{\prime }/\sqrt{u}$

Posons $u(x)=3x+1$. Sur $]-1/3,+\infty [$, $u(x)>0$. Sa dérivée est $u^{\prime }(x)=3$. Exprimons $f(x)$ en fonction de $u^{\prime }$ :

$$f(x)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{\sqrt{3x+1}}=\frac{1}{3}\times \frac{u^{\prime }(x)}{\sqrt{u(x)}}=\frac{2}{3}\times \frac{u^{\prime }(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

La fonction est de la forme $\frac{2}{3}\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Une primitive de $f$ sur cet intervalle est :

$$F(x)=\frac{2}{3}\sqrt{u(x)}=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}$$