Une suite d'intégrales et $\ln (2)$

Une suite d'intégrales et $\ln (2)$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x$.

• Calculer $I_0$.
• Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$. En déduire $I_1$ et $I_2$.
• Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\le I_n\le \frac{1}{n+1}$. En déduire la limite de $(I_n)$.
• Démontrer par récurrence que pour tout $n\ge 1$ :

$$\ln (2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}+(-1{)}^n{I}_n$$

• En déduire ${\lim }_{n\to +\infty }\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$.