Autant de parties paires que de parties impaires

Autant de parties paires que de parties impaires. Soit $n\ge 1$ et $E=\{1,2,\dots ,n\}$. On note ${\mathcal{P}}_0$ l'ensemble des parties de $E$ ayant un nombre pair d'éléments, et ${\mathcal{P}}_1$ celles ayant un nombre impair d'éléments.

• Pour $n=3$, lister les éléments de ${\mathcal{P}}_0$ et de ${\mathcal{P}}_1$.
• Pour une partie $A$ de $E$, on définit $f(A)$ ainsi : si $1\in A$, $f(A)$ est $A$ privée de $1$ ; sinon, $f(A)$ est $A$ à laquelle on ajoute $1$. Montrer que $f$ transforme une partie de ${\mathcal{P}}_0$ en une partie de ${\mathcal{P}}_1$, et que $f(f(A))=A$.
• En déduire que ${\mathcal{P}}_0$ et ${\mathcal{P}}_1$ ont le même nombre d'éléments, puis que ce nombre vaut $2^{n-1}$.
• En déduire la valeur de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)+\dots$ (somme des $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ pour $k$ pair). Vérifier pour $n=5$.
• Application : dans un club de $6$ membres, combien de commissions (éventuellement vides) comptent un nombre pair de membres ?