Calculs de coefficients binomiaux et propriétés

Combinatoire et Dénombrement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Calculs de coefficients binomiaux et propriétés.

Calculer sans calculatrice $(3 10)$ et $(10 12)$ .
Démontrer que pour tous entiers $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n$ , on a la relation :

$k (k n) = n (k - 1 n - 1)$

Corrigé

En appliquant la définition des coefficients binomiaux :

$(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$

Par la relation de symétrie, $(10 12) = (12 - 10 12) = (2 12)$ :

$(10 12) = (2 12) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

Exprimons le membre de gauche à l'aide des factorielles :

$k (k n) = k \times \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Comme $k! = k \times (k - 1)!$ , on peut simplifier par $k$ (puisque $k \geq 1$ ) :

$k (k n) = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!}$

Exprimons maintenant le membre de droite :

$n (k - 1 n - 1) = n \times \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! (( n - 1 ) - ( k - 1 ))!} = \frac{n \times ( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!}$

On constate que les deux expressions sont identiques, ce qui prouve l'égalité.