Comité sous contraintes

• L'ordre des membres n'ayant pas d'importance, un bureau de 4 personnes choisi parmi les 15 membres est une combinaison de 4 éléments parmi 15. Le nombre de bureaux est :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{4}\right)=\frac{15\times 14\times 13\times 12}{4\times 3\times 2\times 1}=1365$$

• Pour élire un bureau composé de 2 hommes et 2 femmes, on choisit simultanément 2 hommes parmi les 9 hommes et 2 femmes parmi les 6 femmes. Le nombre de façons est :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2}\times \frac{6\times 5}{2}=36\times 15=540$$

• Calculons par le complémentaire. Les bureaux ne contenant aucune femme sont composés uniquement d'hommes. Le nombre de tels bureaux est le choix de 4 hommes parmi les 9 disponibles :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$$

Le nombre de bureaux contenant au moins une femme est donc :

$$\text{Nombre total}-\text{Nombre de bureaux sans femme}=1365-126=1239$$