Démonstration de la formule de Pascal

Combinatoire et Dénombrement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Démonstration de la formule de Pascal.

Démontrer par le calcul la formule de Pascal :

$(p n) + (p + 1 n) = (p + 1 n + 1)$

pour tout $n \in N$ et $p \in N$ tel que $0 \leq p \leq n - 1$ .

Corrigé

Exprimons la somme du membre de gauche à l'aide des factorielles :

$(p n) + (p + 1 n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!} + \frac{n !}{( p + 1 )! ( n - p - 1 )!}$

Mettons ces deux fractions au même dénominateur. On remarque que $(p + 1)! = (p + 1) \times p!$ et $(n - p)! = (n - p) \times (n - p - 1)!$ . Le dénominateur commun est donc $(p + 1)! (n - p)!$ . Multiplions la première fraction par $\frac{p + 1}{p + 1}$ et la deuxième par $\frac{n - p}{n - p}$ :

$(p n) + (p + 1 n) = \frac{n ! ( p + 1 )}{( p + 1 ) p ! ( n - p )!} + \frac{n ! ( n - p )}{( p + 1 )! ( n - p ) ( n - p - 1 )!} = \frac{n ! ( p + 1 )}{( p + 1 )! ( n - p )!} + \frac{n ! ( n - p )}{( p + 1 )! ( n - p )!} = \frac{n ! ( ( p + 1 ) + ( n - p ) )}{( p + 1 )! ( n - p )!} = \frac{n ! ( n + 1 )}{( p + 1 )! ( n - p )!} = \frac{( n + 1 )!}{( p + 1 )! ( ( n + 1 ) - ( p + 1 ) ) !} = (p + 1 n + 1)$

La formule est ainsi démontrée.