Démonstration de la formule de Pascal

Exprimons la somme du membre de gauche à l'aide des factorielles :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p+1}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}+\frac{n!}{(p+1)!(n-p-1)!}$$

Mettons ces deux fractions au même dénominateur. On remarque que $(p+1)!=(p+1)\times p!$ et $(n-p)!=(n-p)\times (n-p-1)!$. Le dénominateur commun est donc $(p+1)!(n-p)!$. Multiplions la première fraction par $\frac{p+1}{p+1}$ et la deuxième par $\frac{n-p}{n-p}$ :

$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p+1}\right)& =\frac{n!(p+1)}{(p+1)p!(n-p)!}+\frac{n!(n-p)}{(p+1)!(n-p)(n-p-1)!}\\ & =\frac{n!(p+1)}{(p+1)!(n-p)!}+\frac{n!(n-p)}{(p+1)!(n-p)!}\\ & =\frac{n!((p+1)+(n-p))}{(p+1)!(n-p)!}\\ & =\frac{n!(n+1)}{(p+1)!(n-p)!}\\ & =\frac{(n+1)!}{(p+1)!((n+1)-(p+1))!}\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{p+1}\right)\end{array}$$

La formule est ainsi démontrée.