Résolution d'équations avec coefficients binomiaux

• Pour $n\ge 2$, l'équation s'écrit :

$$\frac{n(n-1)}{2}=45⟺n^2-n=90⟺n^2-n-90=0$$

C'est une équation du second degré. Calculons le discriminant :

$$\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-90)=1+360=361=19^2$$

Les racines sont :

$$n_1=\frac{1-19}{2}=-9\text{et}{n}_2=\frac{1+19}{2}=10$$

Comme $n\in \mathbb{N}$, la seule solution possible est $n=10$.

• Pour $n\ge 2$, on a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$. L'équation devient :

$$n+\frac{n(n-1)}{2}=2n⟺\frac{n(n-1)}{2}=n$$

Comme $n\ge 2$, $n$ est non nul. On peut diviser les deux membres par $n$ :

$$\frac{n-1}{2}=1⟺n-1=2⟺n=3$$

L'unique solution est $n=3$.