Colinéarité de vecteurs et alignement

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Calculons les coordonnées de ces vecteurs :

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-1\\ 0-2\\ 5-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 6\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_A\\ y_C-y_A\\ z_C-z_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-1\\ 3-2\\ -4-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$$

Cherchons s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$. On remarque immédiatement que :

$$\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}$$

En effet, $2=-2\times (-1)$, $-2=-2\times 1$ et $6=-2\times (-3)$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.