Coplanarité de vecteurs

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont manifestement pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

$$\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$$

Ce qui se traduit par le système d'équations :

$$\{\begin{array}{l}2=a\times 1+b\times 0\\ 3=a\times 2+b\times (-1)\\ 3=a\times 0+b\times 3\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=2\\ 2a-b=3\\ 3b=3\end{array}$$

De la première équation, on a $a=2$. De la troisième équation, on a $b=1$. Injectons ces valeurs dans la deuxième équation pour vérifier la cohérence :

$$2(2)-(1)=4-1=3$$

La deuxième équation est vérifiée. Le système admet une solution unique $(a,b)=(2,1)$, donc $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.