Intersection droite-plan

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 8 — Géométrie dans l'espace

Énoncé

Intersection droite-plan. Déterminer l'intersection de la droite $D$ de représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 2 - t z = - 1 + 3 t (t \in R)$

et du plan $P$ d'équation cartésienne $2 x + 3 y - z - 5 = 0$ .

Corrigé

Un point $M (x, y, z)$ appartient à l'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ si ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de $D$ et l'équation de $P$ . Injectons les expressions de $x$ , $y$ et $z$ de la droite dans l'équation cartésienne du plan :

$2 (1 + 2 t) + 3 (2 - t) - (- 1 + 3 t) - 5 = 0$

Développons et simplifions :

$2 + 4 t + 6 - 3 t + 1 - 3 t - 5 = 0 ⟺ (4 t - 3 t - 3 t) + (2 + 6 + 1 - 5) = 0 ⟺ - 2 t + 4 = 0 ⟺ t = 2$

Il existe une unique valeur de paramètre $t = 2$ . La droite et le plan sont donc sécants en un unique point. Calculons les coordonnées du point d'intersection en remplaçant $t$ par 2 dans la représentation paramétrique de $D$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 (2) = 5 y = 2 - (2) = 0 z = - 1 + 3 (2) = 5$

L'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ est le point $I (5, 0, 5)$ .

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