Le tétraèdre trirectangle

Géométrie dans l'espace · Problèmes · niveau 3 (difficile)

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Le tétraèdre trirectangle. L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soient les points $O (0, 0, 0)$ , $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ et $C (0, 0, 3)$ .

Calculer $A B \cdot A C$ , puis une mesure de l'angle $B A C$ au degré près.
En déduire l'aire du triangle $A B C$ . On rappelle que cette aire vaut $\frac{1}{2} A B \times A C \times sin (B A C)$ .
Montrer que le plan $(A B C)$ a pour équation $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ .
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(A B C)$ , et la distance $O H$ .
Calculer de deux façons le volume du tétraèdre $O A B C$ et vérifier la cohérence des résultats. On rappelle que le volume d'un tétraèdre vaut $\frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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