Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Géométrie dans l'espace · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Projeté orthogonal d'un point sur une droite. Soit la droite $D$ passant par le point $A (1, 1, 1)$ et de vecteur directeur $u (2, 1, - 1)$ . On souhaite déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $M (3, 4, 0)$ sur la droite $D$ .

Corrigé

Puisque $H$ appartient à la droite $D$ , il existe un réel $t$ tel que ses coordonnées s'écrivent :

$H (1 + 2 t, 1 + t, 1 - t)$

Le vecteur $M H$ a pour coordonnées :

$M H = (1 + 2 t) - 3 (1 + t) - 4 (1 - t) - 0 = 2 t - 2 t - 3 1 - t$

Par définition, $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ si et seulement si le vecteur $M H$ est orthogonal au vecteur directeur $u$ de la droite, soit $M H \cdot u = 0$ :

$2 (2 t - 2) + 1 (t - 3) - 1 (1 - t) = 0 ⟺ 4 t - 4 + t - 3 - 1 + t = 0 ⟺ 6 t - 8 = 0 ⟺ t = \frac{4}{3}$

Déterminons les coordonnées de $H$ en remplaçant $t$ par $\frac{4}{3}$ :

$x_{H} = 1 + 2 (\frac{4}{3}) = \frac{11}{3}, y_{H} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}, z_{H} = 1 - \frac{4}{3} = - \frac{1}{3}$

Le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ est $H (\frac{11}{3}, \frac{7}{3}, - \frac{1}{3})$ .