Représentation paramétrique de droite

• La droite $(AB)$ passe par le point $A(2,-1,3)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ de coordonnées :

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}0-2\\ 4-(-1)\\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$$

Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :

$$\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=-1+5t\\ z=3-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

• Le point $C(4,-6,5)$ appartient à la droite $(AB)$ s'il existe un réel $t$ tel que :

$$\{\begin{array}{l}4=2-2t\\ -6=-1+5t\\ 5=3-2t\end{array}$$

Résolvons la première équation : $2t=2-4⟹t=-1$. Vérifions si la valeur $t=-1$ satisfait les deux autres équations :

• deuxième équation : $-1+5(-1)=-6$ (vrai) ;
• troisième équation : $3-2(-1)=5$ (vrai).

La valeur de paramètre $t=-1$ étant unique et cohérente, le point $C$ appartient à la droite $(AB)$.