Une section hexagonale du cube

Géométrie dans l'espace · Produit scalaire et équations de plans · niveau 2

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Une section hexagonale du cube. L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le cube $A B C D E F G H$ d'arête $1$ , avec $A (0, 0, 0)$ , $B (1, 0, 0)$ , $C (1, 1, 0)$ , $D (0, 1, 0)$ , $E (0, 0, 1)$ , $F (1, 0, 1)$ , $G (1, 1, 1)$ , $H (0, 1, 1)$ . On note $I$ , $J$ , $K$ les milieux respectifs des arêtes $[A B]$ , $[B C]$ et $[C G]$ .

Donner les coordonnées de $I$ , $J$ , $K$ , puis montrer que le vecteur $n (1, - 1, 1)$ est normal au plan $(I J K)$ .
En déduire une équation cartésienne du plan $(I J K)$ .
Vérifier que $n$ est un vecteur directeur de la diagonale $(D F)$ , puis déterminer le point d'intersection de $(D F)$ et du plan $(I J K)$ . Que remarque-t-on ?
Le milieu $L$ de l'arête $[E H]$ appartient-il au plan $(I J K)$ ?

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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