Conditionnement simple et arbre pondéré

Probabilités · niveau 2

Énoncé

Conditionnement simple et arbre pondéré. Dans une usine, deux machines A et B fabriquent des pièces électroniques. La machine A produit $60%$ des pièces et la machine B produit $40%$ . Le taux de pièces défectueuses est de $2%$ pour la machine A et de $3%$ pour la machine B. On tire une pièce au hasard dans la production.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que la pièce provienne de la machine A et soit défectueuse.
Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.

Corrigé

Soient les événements $A$ : « la pièce est fabriquée par la machine A », $B$ : « la pièce est fabriquée par la machine B » et $D$ : « la pièce est défectueuse ».

L'arbre pondéré représentant la situation est le suivant :

On cherche à calculer la probabilité de l'intersection $A \cap D$ :

$P (A \cap D) = P (A) \times P_{A} (D) = 0, 60 \times 0, 02 = 0, 012$

La probabilité que la pièce provienne de la machine A et soit défectueuse est de 0,012.

D'après la formule des probabilités totales, comme $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, on a :

$P (D) = P (A \cap D) + P (B \cap D) = P (A) \times P_{A} (D) + P (B) \times P_{B} (D) = 0, 60 \times 0, 02 + 0, 40 \times 0, 03 = 0, 012 + 0, 012 = 0, 024$

La probabilité que la pièce soit défectueuse est de 0,024 (soit $2, 4%$ ).