Indicateurs de la loi binomiale

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 9 — Probabilités

Énoncé

Indicateurs de la loi binomiale. Un candidat répond complètement au hasard aux 20 questions d'un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, 4 réponses sont proposées, une seule étant correcte. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes obtenues par le candidat.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance mathématique $E (X)$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance $V (X)$ et l'écart-type $σ (X)$ (arrondi à $1 0^{- 2}$ ).

Corrigé

Le candidat répond au hasard de manière indépendante à 20 questions. Chaque question a une probabilité de succès égale à $p = 0, 25$ (1 réponse correcte sur 4). La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0, 25$ , soit $B (20; 0, 25)$ .

L'espérance mathématique de la loi binomiale est donnée par $E (X) = n p$ :

$E (X) = 20 \times 0, 25 = 5$

Interprétation : En répondant complètement au hasard, le candidat peut s'attendre à obtenir en moyenne 5 bonnes réponses sur les 20 questions.

La variance est :

$V (X) = n p (1 - p) = 20 \times 0, 25 \times 0, 75 = 3, 75$

L'écart-type est :

$σ (X) = V (X) = 3, 75 \approx 1, 94$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.