Quelle taille d'échantillon ?

Quelle taille d'échantillon ? On lance $n$ fois une pièce équilibrée. Pour $i$ de $1$ à $n$, $X_i$ vaut $1$ si le $i$-ème lancer donne « pile », $0$ sinon. On note $M_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$ la fréquence de « pile ».

• Donner l'espérance $\mu$ et la variance $V$ de la loi commune des $X_i$, puis $E(M_n)$ et $V(M_n)$.
• À l'aide de l'inégalité de concentration, déterminer une taille $n$ suffisante pour que :

$$P(|M_n-0,5|\ge 0,05)\le 0,05$$

• Même question avec un écart de $0,01$ au lieu de $0,05$. Commenter.
• Pour $n=2000$, un calcul exact avec la loi binomiale donne $P(|M_n-0,5|\ge 0,05)\approx 7,7\times 10^{-6}$. Que dire de la majoration obtenue en question 2 ?