Une marche aléatoire

Une marche aléatoire. Un pion part de l'origine d'un axe gradué. À chaque seconde, on lance une pièce équilibrée : sur « pile », le pion avance d'une unité ; sur « face », il recule d'une unité. Les lancers sont indépendants. On note $B$ le nombre de « pile » obtenus en $10$ lancers, et $X$ la position du pion après $10$ secondes.

• Donner la loi de $B$. Montrer que $X=2B-10$.
• En déduire $E(X)$ et $V(X)$.
• Calculer la probabilité que le pion soit revenu à l'origine après $10$ secondes.
• Calculer la probabilité exacte $P(|X|\ge 6)$, puis la majoration fournie par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Comparer.