mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

La turbine Pelton : pourquoi les augets vont à la moitié de la vitesse du jet

Changements de référentiel · C. Composition des vitesses · niveau 2

Énoncé

Une turbine Pelton est une roue à augets (godets doubles) qu'un injecteur frappe d'un jet d'eau horizontal, de vitesse $c u_{x}$ dans le sol, au rayon $R_{P}$ où les augets vont à $u = Ω R_{P}$ . L'arête centrale de chaque auget partage le jet en deux moitiés renvoyées vers l'arrière : dans le référentiel de l'auget, la vitesse de sortie fait l'angle $β$ avec la vitesse d'entrée. On note $x = u / c$ , $ρ$ la masse volumique de l'eau, $S$ la section du jet, $v_{s}$ la vitesse de sortie dans le sol. Hypothèses : (H1) pendant le bref contact, l'auget est assimilé à un solide en translation rectiligne uniforme à $u u_{x}$ ; (H2) dans le référentiel de l'auget, l'eau glisse sans frottement, à la pression atmosphérique, pesanteur négligée : la norme de sa vitesse relative se conserve (admis) ; (H3) les augets se succédant sous le jet, tout le débit $ρS c$ traverse la roue. Le rendement est $η = 1 - v_{s}^{2} / c^{2}$ .

1) L'auget est lié à la roue, en rotation autour de son axe ; pendant le contact, la roue tourne d'une vingtaine de degrés. Justifier (H1), et expliquer pourquoi c'est elle qui permet d'invoquer l'énergie dans (H2).

2) Exprimer la vitesse relative d'entrée $w_{1}$ , celle de sortie $w_{2}$ , puis $v_{s}$ . Établir $η = 2 x (1 - x) (1 - cos β)$ ; cas $x = 0$ et $x = 1$ .

3) Vitesse optimale des augets ? Rendement et sort de l'eau pour $β = 18 0^{\circ}$ ; pour $β = 16 5^{\circ}$ , valeur des augets réels, qui laisse l'eau dégager l'auget suivant ?

4) Chute de $H = 800 m$ , pertes négligées : $c = 2 g H$ . La roue entraîne un alternateur à $50 Hz$ et cinq paires de pôles, qui tourne à $600$ tours par minute. Diamètre de la roue ? Et sous $50 m$ de chute ? Conclure.

5) Un auget seul, sur un chariot qui fuit l'injecteur à $u$ , reçoit le même jet ( $β = 18 0^{\circ}$ ). Montrer qu'il ne reçoit que le débit $ρS (c - u)$ et que son rendement vaut $4 x (1 - x)^{2}$ . Optimum ? Pourquoi la roue fait-elle mieux ?

Corrigé

La stratégie. Dans le sol, l'écoulement dans un auget qui fuit est compliqué ; dans le référentiel de l'auget, il est évident : l'eau entre, glisse, ressort à la même vitesse relative. On calcule là, et l'on revient au sol par la composition des vitesses, avec $v_{e} = u u_{x}$ uniforme (translation).

1) Une translation approchée, et galiléenne. Pendant le contact, la vitesse de l'auget garde sa norme et ne tourne que d'une vingtaine de degrés ( $cos 2 0^{\circ} = 0, 94$ ) : on la tient pour constante, à quelques pour cent près. Un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport au sol, galiléen, l'est aussi ( $a_{a} = a_{r}$ , transformation de Galilée) : l'énergie cinétique s'y traite comme en première année, et la paroi, immobile et sans frottement, n'y travaille pas. Dans le sol, la même paroi avance et travaille : c'est ce travail qui fait tourner la roue. Le travail dépend du référentiel.

2) Le triangle des vitesses. Entrée : $w_{1} = c u_{x} - u u_{x} = (c - u) u_{x}$ . Sortie, dans l'auget : $w_{2} = (c - u) (cos β u_{x} + sin β u_{y})$ (l'autre moitié avec $- sin β$ ). Dans le sol : $v_{s} = w_{2} + u u_{x}, v_{s}^{2} = u^{2} + (c - u)^{2} + 2 u (c - u) cos β = c^{2} - 2 u (c - u) (1 - cos β),$ puisque $u^{2} + (c - u)^{2} = c^{2} - 2 u (c - u)$ . D'où $η = 1 - \frac{v _{s}^{2}}{c ^{2}} = 2 x (1 - x) (1 - cos β) .$ Chaque kilogramme du jet arrive avec $c^{2} /2$ et repart avec $v_{s}^{2} /2$ , à la même pression : la différence est cédée à la roue. Cas limites : $x = 0$ , roue bloquée, l'eau rebondit sur un auget qui ne travaille pas ; $x = 1$ , l'auget fuit à la vitesse du jet. $η = 0$ aux deux bouts.

3) La moitié de la vitesse du jet. $\frac{d η}{d x} = 2 (1 - 2 x) (1 - cos β) = 0$ pour $x = \frac{1}{2}$ : $u = c /2$ , quel que soit $β$ , et $η_{m a x} = \frac{1 - cos β}{2}$ . Pour $β = 18 0^{\circ}$ , $η_{m a x} = 1$ et $v_{s} = (u - (c - u)) u_{x} = 0$ : l'eau sort immobile dans le sol et tombe « morte » sous la roue. Pour $β = 16 5^{\circ}$ : $η_{m a x} = \frac{1 + cos 1 5 ^{\circ}}{2} = 0, 983$ et $v_{s} = 1 - 0, 983 c = 0, 13 c$ , presque perpendiculaire au jet ( $8 2^{\circ}$ ) : l'eau part sur les côtés en n'emportant que $1, 7 %$ de la puissance.

4) La turbine des hautes chutes. $c = 2 \times 9, 81 \times 800 = 125 m s^{- 1}$ , $u = 62, 6 m s^{- 1}$ ; à $10$ tours par seconde, $Ω = 62, 8 rad s^{- 1}$ , $R_{P} = u /Ω = 1, 00 m$ : roue de $2, 0 m$ . Un jet de $10 cm$ de diamètre y porte $\frac{1}{2} ρS c^{3} = 7, 7 MW$ . Sous $50 m$ : $c = 31, 3 m s^{- 1}$ , $u = 15, 7 m s^{- 1}$ , roue de $0, 50 m$ : un jet fin, un faible débit, alors qu'une basse chute ne donne de puissance qu'avec un grand débit. La Pelton est la turbine des hautes chutes.

5) L'auget seul. Pendant $d t$ , l'injecteur émet $ρS c d t$ , mais la colonne d'eau entre l'injecteur et l'auget s'allonge de $u d t$ et stocke $ρS u d t$ : l'auget reçoit $ρS (c - u) d t$ . Cette eau repart à $(2 u - c) u_{x}$ et cède la puissance $P = ρS (c - u) \frac{c ^{2} - ( 2 u - c ) ^{2}}{2} = 2 ρS u (c - u)^{2}, η = \frac{P}{\frac{1}{2} ρS c ^{3}} = 4 x (1 - x)^{2} .$ $\frac{d η}{d x} = 4 (1 - x) (1 - 3 x) = 0$ pour $x = \frac{1}{3}$ , où $η = \frac{16}{27} = 0, 59$ . Dans la roue, un auget qui quitte le jet est aussitôt relayé : l'eau « stockée » n'est pas perdue et tout le débit est traité ; même à $x = \frac{1}{3}$ , la roue rend $0, 89$ .

Ce que l'exercice installe. Changer de référentiel pour qu'un problème devienne évident, puis revenir par la composition des vitesses ( $v_{e}$ uniforme en translation). Un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen l'est aussi ; le travail d'une force, lui, dépend du référentiel. Le réglage $u = c /2$ se lit sur un triangle des vitesses.

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