Le filé d'étoiles et la monture équatoriale

La stratégie. Une seule relation fait tout : la dérivation composée appliquée à $\overrightarrow{u}$, fixe dans un référentiel et observé depuis un autre. L'additivité des vecteurs rotation donne ${\Omega }_T$ ; le reste est affaire d'ordres de grandeur.

1) Un tour de plus par an. $O$ est fixe dans ${\mathcal{R}}_G$ et $Ox$, qui suit le Soleil, tourne d'un tour par an autour de l'axe fixe $(O,{\overrightarrow{u}}_z)$ : ${\mathcal{R}}_S$ est en rotation uniforme, ${\overrightarrow{\Omega }}_{S/G}=\frac{2\pi }{T_{\text{an}}}{\overrightarrow{u}}_z$. Dans ${\mathcal{R}}_S$, le Soleil est fixe et repasse au méridien toutes les $86400\mathrm{s}$ : ${\overrightarrow{\Omega }}_{T/S}=\frac{2\pi }{T_{\text{sol}}}{\overrightarrow{u}}_z$, dans le même sens. Par additivité (pour tout $\overrightarrow{e}$ lié à la Terre, ${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e}}{\mathrm{d}t}|}_G={\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e}}{\mathrm{d}t}|}_S+{\overrightarrow{\Omega }}_{S/G}\wedge \overrightarrow{e}=({\overrightarrow{\Omega }}_{T/S}+{\overrightarrow{\Omega }}_{S/G})\wedge \overrightarrow{e}$) : $$\frac{1}{T_{\text{sid}}}=\frac{1}{T_{\text{sol}}}+\frac{1}{T_{\text{an}}},T_{\text{sid}}=\frac{86400\times 365,25}{366,25}=86164\mathrm{s},{\Omega }_T=7,292\times 10^{-5}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Soit $23\mathrm{h}56\min 4\mathrm{s}$ : en un an, $366,25$ tours par rapport aux étoiles pour $365,25$ par rapport au Soleil.

2a) Une direction fixe. ${\mathcal{R}}_G$ est en translation par rapport au référentiel de Copernic : avec $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$, la dérivation composée donne la même dérivée, nulle, dans les deux.

2b) Les étoiles tournent autour du pôle. ${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}|}_G={\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}|}_T+{\overrightarrow{\Omega }}_T\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, d'où $${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}|}_T=-{\overrightarrow{\Omega }}_T\wedge \overrightarrow{u}:$$ $\overrightarrow{u}$ tourne à $-{\overrightarrow{\Omega }}_T$. Comme $\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{u}}_z$ est constant, l'angle $\alpha$ l'est : l'étoile décrit un cercle du ciel centré sur le pôle céleste, d'est en ouest, en un jour sidéral, et $\Vert {\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}|}_T\Vert ={\Omega }_T\Vert {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{u}\Vert ={\Omega }_T\sin \alpha$.

2c) Cas limite : la Polaire. Rapport $\frac{1}{\sin 0,65^{\circ }}=88$. Pour $\overrightarrow{u}\parallel {\overrightarrow{\Omega }}_T$, la dérivée s'annule : la Polaire semble fixe, d'où son rôle de repère du nord, bien qu'elle décrive un petit cercle de $1,3^{\circ }$ de diamètre.

3) Un filé qui ne dépend pas de la focale. Pendant $t_{\max }$, l'image d'une étoile de l'équateur céleste se déplace de $$\ell =f{\Omega }_T\frac{500}{f}=500\times 7,29\times 10^{-5}\mathrm{mm}=36\mu \mathrm{m},$$ quelle que soit la focale : la règle impose un filé de longueur fixe. Un pixel mesure $36\mathrm{mm}/6000=6,0\mu \mathrm{m}$ : le filé en couvre six. La règle date de l'argentique, au grain plus gros.

4a) Composer une rotation opposée. ${\overrightarrow{\Omega }}_{A/G}={\overrightarrow{\Omega }}_{A/T}+{\overrightarrow{\Omega }}_{T/G}=-{\overrightarrow{\Omega }}_T+{\overrightarrow{\Omega }}_T=\overrightarrow{0}$ : le référentiel de l'appareil est en translation par rapport au géocentrique, toute direction liée à l'appareil est fixe par rapport aux étoiles. Mais l'appareil, posé au sol, décrit en un jour sidéral un cercle autour de l'axe des pôles : c'est une translation circulaire, celle de la nacelle. Elle ne change pas la direction d'étoiles situées à l'infini.

4b) Soixante pixels. ${\Omega }_{A/G}={\Omega }_T-\frac{2\pi }{86400}=1,99\times 10^{-7}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}=\frac{{\Omega }_T}{366,25}$. En une heure : $7,17\times 10^{-4}\mathrm{rad}$, soit $2,5$ minutes d'arc, et au foyer de $500\mathrm{mm}$, $0,36\mathrm{mm}$, 60 pixels. D'où le réglage sidéral des montures.

Ce que l'exercice installe. La dérivation composée vaut pour tout vecteur : une direction fixe dans $\mathcal{R}$ tourne à $-\overrightarrow{\Omega }$ dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, avec la vitesse $\Omega \sin \alpha$, nulle sur l'axe. Deux référentiels en translation l'un par rapport à l'autre dérivent les vecteurs de la même façon. Les vecteurs rotation s'additionnent : le jour sidéral en est la mesure, et une monture équatoriale compose une rotation opposée pour ramener l'appareil en translation.