Le réverbère vu du manège : deux référentiels, une seule accélération

La stratégie. Calculer ${\overrightarrow{a}}_r$ directement, par les polaires dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, puis par la composition, ${\overrightarrow{a}}_r={\overrightarrow{a}}_a-{\overrightarrow{a}}_e-{\overrightarrow{a}}_c$, avec ${\overrightarrow{a}}_e=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{a}}_c=2\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{v}}_r$ ; comparer terme à terme.

1a) Le réverbère tourne dans le manège. ${\theta }_L$ est constant, donc ${\theta }_L^{\prime }={\theta }_L-\Omega t$ : dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, $L$ décrit un cercle de rayon $r$ dans le sens horaire, à $-\Omega$. Par les polaires : ${\overrightarrow{v}}_r=r{\dot{\theta }}^{\prime }{\overrightarrow{u}}_{\theta }=-\Omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ ($4,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) et ${\overrightarrow{a}}_r=-r{\dot{\theta }}^{\prime 2}{\overrightarrow{u}}_r=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$ ($3,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$), centripète.

1b) Coriolis est centrifuge. ${\overrightarrow{a}}_e=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$, centripète, $3,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ ; et, avec ${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=-{\overrightarrow{u}}_r$, $${\overrightarrow{a}}_c=2\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge (-\Omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta })=+2{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r,a_c=6,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ centrifuge. Vérification : ${\overrightarrow{a}}_r+{\overrightarrow{a}}_e+{\overrightarrow{a}}_c=(-1-1+2){\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r=\overrightarrow{0}={\overrightarrow{a}}_a$. Immobile dans le sol, le réverbère tourne dans le manège, et c'est Coriolis, plus grande que l'entraînement, qui rend ${\overrightarrow{a}}_r$ centripète. Perpendiculaire à ${\overrightarrow{v}}_r$, orthoradiale, Coriolis est ici radiale : « latérale » seulement par rapport à la vitesse relative.

2) Le double produit. ${\theta }^{\prime }=(\omega -\Omega )t$ : mouvement relatif circulaire uniforme à $\omega -\Omega$, et $${\overrightarrow{a}}_r=-(\omega -\Omega {)}^{2}r{\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{a}}_e=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r,$$ $${\overrightarrow{a}}_c=2\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge (\omega -\Omega )r{\overrightarrow{u}}_{\theta }=-2\Omega (\omega -\Omega )r{\overrightarrow{u}}_r.$$ La somme vaut $-r{\left[(\omega -\Omega )+\Omega \right]}^2{\overrightarrow{u}}_r=-{\omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r={\overrightarrow{a}}_a$ : la composition est l'identité $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$, et Coriolis est le double produit, le terme croisé entre rotation relative et rotation d'entraînement — celui que l'intuition oublie. Pour $\omega =\Omega$, $M$ est fixe dans le manège : ${\overrightarrow{a}}_c=\overrightarrow{0}$ et ${\overrightarrow{a}}_a={\overrightarrow{a}}_e$. Pour $\omega =-\Omega$ : ${\overrightarrow{a}}_r=-4{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$, ${\overrightarrow{a}}_e=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$, ${\overrightarrow{a}}_c=+4{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{u}}_r$.

3) La nacelle tourne dans la roue. La nacelle étant en translation, $\overrightarrow{O^{\prime }M}$ est constant dans le sol : sa longueur $O^{\prime }M$ et son angle ${\theta }_M$, compté depuis une direction fixe du sol, sont constants. Dans la roue, compté depuis une direction liée à la roue, qui tourne de $\omega t$, cet angle vaut ${\theta }_M^{\prime }={\theta }_M-\omega t$ ; et $O^{\prime }$ est fixe dans la roue : dans la roue, $M$ décrit un cercle de centre $O^{\prime }$ à $-\omega$ — le réverbère, centré en $O^{\prime }$. (La dérivation composée le donne aussi : ${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{O^{\prime }M}}{\mathrm{d}t}|}_{\text{roue}}=-\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{O^{\prime }M}$.) Mouvement circulaire uniforme : ${\overrightarrow{v}}_r=-\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{O^{\prime }M}$ et ${\overrightarrow{a}}_r=-{\omega }^2\overrightarrow{O^{\prime }M}$ ; puis ${\overrightarrow{a}}_e=-{\omega }^2\overrightarrow{CM}$, et ${\overrightarrow{a}}_c=2\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge (-\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{O^{\prime }M})=+2{\omega }^2\overrightarrow{O^{\prime }M}$ par le double produit vectoriel. La somme : $${\omega }^2\overrightarrow{O^{\prime }M}-{\omega }^2\overrightarrow{CM}=-{\omega }^2\overrightarrow{C{O}^{\prime }},$$ indépendante de $M$ : la nacelle étant en translation, tous ses points ont l'accélération de $O^{\prime }$, en mouvement circulaire uniforme autour de $C$.

4) Plus vite que la lumière ? Une étoile à la distance $d$ de l'axe décrit dans le référentiel terrestre un cercle en un jour sidéral : $v_r\approx {\Omega }_{T}d$. Soleil : $7,29\times 10^{-5}\times 1,50\times 10^{11}=1,09\times 10^7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=0,036c_0$. Étoile à $4,0\times 10^{16}\mathrm{m}$ : $2,9\times 10^{12}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, près de $10^4{c}_0$. Aucune contradiction : cette vitesse est, au signe près, la vitesse d'entraînement ${\overrightarrow{\Omega }}_T\wedge \overrightarrow{OM}$, celle d'un point coïncident fictif, point du référentiel terrestre prolongé jusqu'à l'étoile, qu'aucun corps ni aucun signal ne réalise ; la relativité borne la vitesse des corps et des signaux, pas celle d'un point géométrique.

Ce que l'exercice installe. Calculer une accélération relative de deux façons et vérifier terme à terme. L'accélération de Coriolis est perpendiculaire à ${\overrightarrow{v}}_r$ — radiale, et même centrifuge, pour un mouvement relatif orthoradial ; elle est le terme croisé du carré. Le point coïncident peut être fictif, et sa vitesse n'a pas de borne.